some work on FDFD derivation

meanas/fdfd/__init__.py

@@ -21,13 +21,70 @@ From the "Frequency domain" section of `meanas.fdmath`, we have
 $$
  \\begin{aligned}
  \\tilde{E}_{l, \\vec{r}} &= \\tilde{E}_{\\vec{r}} e^{-\\imath \\omega l \\Delta_t} \\\\
+ \\tilde{H}_{l - \\frac{1}{2}, \\vec{r} + \\frac{1}{2}} &= \\tilde{H}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} e^{-\\imath \\omega (l - \\frac{1}{2}) \\Delta_t} \\\\
  \\tilde{J}_{l, \\vec{r}} &= \\tilde{J}_{\\vec{r}} e^{-\\imath \\omega (l - \\frac{1}{2}) \\Delta_t} \\\\
+ \\tilde{M}_{l - \\frac{1}{2}, \\vec{r} + \\frac{1}{2}} &= \\tilde{M}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} e^{-\\imath \\omega l \\Delta_t} \\\\
  \\hat{\\nabla} \\times (\\mu^{-1}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} \\cdot \\tilde{\\nabla} \\times \\tilde{E}_{\\vec{r}})
-    -\\Omega^2 \\epsilon_{\\vec{r}} \\cdot \\tilde{E}_{\\vec{r}} &= \\imath \\Omega \\tilde{J}_{\\vec{r}} \\\\
+    -\\Omega^2 \\epsilon_{\\vec{r}} \\cdot \\tilde{E}_{\\vec{r}} &= -\\imath \\Omega \\tilde{J}_{\\vec{r}} e^{\\imath \\omega \\Delta_t / 2} \\\\
  \\Omega &= 2 \\sin(\\omega \\Delta_t / 2) / \\Delta_t
  \\end{aligned}
 $$
 
+resulting in
+
+$$
+ \\begin{aligned}
+ \\tilde{\\partial}_t &\\Rightarrow -\\imath \\Omega e^{-\\imath \\omega \\Delta_t / 2}\\\\
+   \\hat{\\partial}_t &\\Rightarrow -\\imath \\Omega e^{ \\imath \\omega \\Delta_t / 2}\\\\
+ \\end{aligned}
+$$
+
+Maxwell's equations are then
+
+$$
+  \\begin{aligned}
+  \\tilde{\\nabla} \\times \\tilde{E}_{\\vec{r}} &=
+         \\imath \\Omega e^{-\\imath \\omega \\Delta_t / 2} \\hat{B}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}}
+                                                          - \\hat{M}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}}  \\\\
+  \\hat{\\nabla} \\times \\hat{H}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} &=
+        -\\imath \\Omega e^{ \\imath \\omega \\Delta_t / 2} \\tilde{D}_{\\vec{r}}
+                                                          + \\tilde{J}_{\\vec{r}} \\\\
+  \\tilde{\\nabla} \\cdot \\hat{B}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} &= 0 \\\\
+  \\hat{\\nabla} \\cdot \\tilde{D}_{\\vec{r}} &= \\rho_{\\vec{r}}
+ \\end{aligned}
+$$
+
+With $\\Delta_t \\to 0$, this simplifies to
+
+$$
+ \\begin{aligned}
+ \\tilde{E}_{l, \\vec{r}} &\\to \\tilde{E}_{\\vec{r}} \\\\
+ \\tilde{H}_{l - \\frac{1}{2}, \\vec{r} + \\frac{1}{2}} &\\to \\tilde{H}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} \\\\
+ \\tilde{J}_{l, \\vec{r}} &\\to \\tilde{J}_{\\vec{r}} \\\\
+ \\tilde{M}_{l - \\frac{1}{2}, \\vec{r} + \\frac{1}{2}} &\\to \\tilde{M}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} \\\\
+ \\Omega &\\to \\omega \\\\
+ \\tilde{\\partial}_t &\\to -\\imath \\omega \\\\
+   \\hat{\\partial}_t &\\to -\\imath \\omega \\\\
+ \\end{aligned}
+$$
+
+and then
+
+$$
+  \\begin{aligned}
+  \\tilde{\\nabla} \\times \\tilde{E}_{\\vec{r}} &=
+         \\imath \\omega \\hat{B}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}}
+                       - \\hat{M}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}}  \\\\
+  \\hat{\\nabla} \\times \\hat{H}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} &=
+        -\\imath \\omega \\tilde{D}_{\\vec{r}}
+                       + \\tilde{J}_{\\vec{r}} \\\\
+ \\end{aligned}
+$$
+
+$$
+ \\hat{\\nabla} \\times (\\mu^{-1}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} \\cdot \\tilde{\\nabla} \\times \\tilde{E}_{\\vec{r}})
+    -\\omega^2 \\epsilon_{\\vec{r}} \\cdot \\tilde{E}_{\\vec{r}} = -\\imath \\omega \\tilde{J}_{\\vec{r}} \\\\
+$$
 
 # TODO FDFD?
 # TODO PML

meanas/fdmath/__init__.py

@@ -426,7 +426,7 @@ This gives the frequency-domain wave equation,
 
 $$
  \\hat{\\nabla} \\times (\\mu^{-1}_{\\vec{r} + \\frac{1}{2}} \\cdot \\tilde{\\nabla} \\times \\tilde{E}_{\\vec{r}})
-    -\\Omega^2 \\epsilon_{\\vec{r}} \\cdot \\tilde{E}_{\\vec{r}} = \\imath \\Omega \\tilde{J}_{\\vec{r}}
+    -\\Omega^2 \\epsilon_{\\vec{r}} \\cdot \\tilde{E}_{\\vec{r}} = -\\imath \\Omega \\tilde{J}_{\\vec{r}} e^{\\imath \\omega \\Delta_t / 2} \\\\
 $$